【物理科普】不确定性基本概念到底在说什么？

动都关的联，而这，才是 不断定性连续性并不一定只想知道我们的。

十分一定，对不断定性连续性并不一定那种广为流传的解读回冤枉是 错的。他们把不断定性连续性并不一定当变为了 相反效应，确信是校正存量每一次之之前的西移动造变为了我们未同时校正准电荷的从右方和动存量，而并未察觉到这种不断定性是 仅仅的，是电荷的 固有物理性质，跟你校正不校正存量关的联。

那么，这种仅仅的不断定性是怎么来的呢？

02物理学存量的略颇高于

在《 什么是存狄拉克？ 》之之前都我们就说过， 电动物理学之之前都的物理学存量在任何时候都有断定顶多值，一个物体在任何时候都有断定的从右方和反应速度，跟你校正不校正存量，如何校正存量都关的联。

但到了 存狄拉克，物理学存量是否有断定收顶多值却跟 种系统实质上有关：如果种系统保持稳定 本征基态，那校正存量这个物理学存量时就有断定顶多值；如果种系统保持稳定 瞬时在基态，那校正存量这个物理学存量时就 并未断定顶多值。因此，如果你之之前都只想辩论物理学存量的收顶多值，就得先以断定种系统的实质上，究竟它是 本征基态还是 瞬时在基态。

以 从右方为例，如果磁性保持稳定 从右方本征基态，那校正存量从右方时就有断定顶多值（该本征基态完全相同的本征顶多值）；如果磁性保持稳定 从右方瞬时在基态，那校正存量从右方时就并未断定顶多值，而是有一定仅有值保持稳定各个从右方本征基态完全相同的本征顶多值。

然后，或许我们要相当多注意： 当种系统实质上断定日后，虽然磁性的从右方在一般实质上下不断定，但它的略颇高于只不过断定的。

比如，磁性保持稳定某个从右方瞬时在基态，校正存量常有70%的仅有值保持稳定x=1一处，有30%的仅有值保持稳定x=2一处，虽然我们不真的校正存量结果到底都会是x=1还是x=2，但我们真的磁性的从右方略颇高于一定是 x=1×0.7+2×0.3=1.3。

这就是话说，只要种系统实质上断定了（不管是本征基态还是瞬时在基态），虽然物理学存量的就其收顶多值一般不断定，但它的 仅有值分布却断定了（详见《 什么是存狄拉克？ 》之之前都的 玻恩原则上其余部分），若有物理学存量的 略颇高于也就慢慢断定了。略颇高于是个十分重要的并不一定，从这之之前都我们也能只想到存狄拉克的 统计数字物理性质。

提到略颇高于，大家都十分熟知。学校举行考试时，如果只想对比两个颇高三的优异变为绩，我们最常用的做法就是计不算两个颇高三的 最颇高分。计不算方法也很抽象，把一个普通科之之前都正当的优异变为绩都加在上去，于是又除以人有数就给予了这个颇高三的最颇高分。 如果 一普通科的最颇高分比 二普通科颇高，那我们大体上就确信一普通科比二普通科方是好。

当然，最颇高分很精确，但它的显然也不大。相当多是，当一个取样的有数据资料 振荡过大时，略颇高于一般来说就很无以说明了真实实质上了。就像大家经常调侃的，如果把我的收入跟马云、马化腾平仅有一下， 那大家也都是身价百亿的人了，这样的平仅有显然没什么意味。

同理，如果二普通科的 最颇高分要极低一些，但我们仔细一看， 却发掘出二普通科有大存量同普通科考了95分以上，但因为某些缘故也有些人只考了几分，甚至0分，这少有数非典型分就把颇高三的最颇高分拉了原地。而一普通科绝大部分有数人都考了70多分，既并未方是很颇高的，也并未方是相当多极低的。这样一不算最颇高分，一普通科确实比二普通科颇高了一点，但你真是这种实质上下还仅凭最颇高分来判别两个普通科的优异变为绩，还愈来愈好么？

为什么 最颇高分在这种实质上下似乎十分好用了呢？缘故很抽象，因为 二普通科的优异变为绩振荡太大了 ，差不多满分和差不多0分的人都有很多，而最颇高分都会把这些振荡给抹掉。 因此，如果我们只想愈来愈好地叙述二普通科的实质上，那就得只想办法叙述这种 振荡，如何叙述呢？

这时候，我们就要应运而生两个新的存量：标准顶多和平仅有值。

03标准顶多和平仅有值

标准顶多是怎样展现显现出颇高三的优异变为绩振荡的呢？

思路也很抽象，一普通科的分有数大部分在70到80分密切关系，仅仅它们的最颇高分是75分吧。当我们话说一普通科的优异变为绩 振荡不大时，我们回冤枉是在话说一普通科的大其余部分优异变为绩都在75这个最颇高分周边地区，它们相当 最颇高分的振荡不大。当我们 话说二普通科的优异变为绩振荡不大时，也是在话说二普通科的大其余部分优异变为绩一段距离它们的最颇高分（仅仅是74分）相当远，大家相当最颇高分的振荡不大。

所以，如果只想计不算一个颇高三的连续性振荡，那你就先以把这个颇高三的 最颇高分不算显现出来，于是又把每个人相当最颇高分的 振荡不算显现出来，终于把所有振荡加在上去于是又除以人有数，这样给予的结果就能大抵说明了一个 颇高三的连续性振荡了，这也是计不算标准顶多的大抵思只想。

比如，一普通科的最颇高分是75分，有个同普通科考了70分，跟最颇高分顶多5分；有个同普通科考了80分，跟最颇高分也顶多了5分。我们把正当跟75这个最颇高分的顶多顶多值都不算显现出来，把它们加在上去于是又除以人有数，给予的结果就能大抵说明了一普通科优异变为绩的振荡实质上了。

但大家马上就都会显然：反之亦然用 每个人的分有数相加最颇高分的顶多来度存量这个振荡是不出的。因为考了80分的同普通科相加最颇高分75等同5，考了70分的同普通科相加最颇高分75等同-5，你把它们反之亦然加在上去，那总的振荡就是5+（-5）=0了，这赞许不对。

要解决这个难题，很多人的第一反应是给它套个 绝对顶多值。不管怎样，套了绝对顶多值日后，负有数就坏变为了正有数（|5|+|-5|=5+5=10），这样就不都会于是又显现经常出现“正负相位差”的实质上了。这样一处理冤枉件在仅仅没啥难题，但绝对顶多值在就其计不算时都会相当麻烦，为了易于计不算，我们采用了另一种方的单： 给它套个平方。

大家真的， 负有数的平方也是 正有数，这样它也能达到绝对顶多值的效果，但计不算上去都会愈来愈易于。

比如，对于考了70分的同普通科，我们用70相加最颇高分75，于是又套个平方（70-75）²=25来概述这个振荡；对于考了80分的同普通科，我们就用（80-75）²=25来概述这个振荡，其他人以此类推。把正当相当最颇高分的顶多的 平方都加在上去，于是又除以人有数就给予了衡存量颇高三 连续性振荡水平的 标准顶多。

有了标准顶多，我们就能触及各个颇高三的振荡实质上了，也能似乎地只想到二普通科的优异变为绩振荡确实比一普通科大。

一普通科的最颇高分是75分，大存量考了70分的同普通科转化变为的振荡只有（70-75）²=25；仅仅二普通科的最颇高分是74分，那考了100分的同普通科没过多久就都会转化变为（100-74）²=676的振荡，考了0分的同普通科愈来愈是以一己之力就能贡献（0-74）²=5476的振荡顶多值。闭着嘴唇都真的，二普通科的标准顶多赞许都会足以少于一普通科，这也说明了了二普通科优异变为绩的振荡足以少于一普通科。

所以，通过 标准顶多，我们确实能够判别取样的振荡实质上。不过，从左边的举例大家也能只想到，标准顶多虽然好用，但它的有数顶多值还是实在太偏大（考了0分的同普通科完全相同的顶多值没想到颇高达5476，这让我们很无以抽象地作判别）。为了易于判别，我们对标准顶多于是又开个布雷（标准顶多是9，平仅有值就为3），这样就给予了 平仅有值（一般用 σ来概述），左边我们常用的也都是 平仅有值σ。

略颇高于、 标准顶多和 平仅有值都是 仅有值统计数字之之前都较为基础的东西，大家在之之前学有自然语言学之之前都也学过了，这之之前都我就不于是又天长地久了。在这之之前都，我们只要真的标准顶多和平仅有值可以衡存量一个取样的振荡实质上，标准顶多、平仅有值大，就概述它们忽略平仅有水平得越厉害再多。

04不断定性连续性并不一定

好，于是又来到表现形的单。我们才刚才刚不是在说 不断定性连续性并不一定的么，为什么这之之前都突然间有缘了标准顶多和平仅有值？

那是因为，大家经常只想到的不断定性连续性并不一定的表达的单 ΔxΔp≥ℏ/2（ℏ=h/2π），这之之前都的 Δx和 Δp特指的就是 平仅有值，而不是大家先以入为主地以为的 校正存量平仅有值。

什么意为？

意为就是，你经常只想到的不断定性连续性并不一定 ΔxΔp≥ℏ/2，它话说的是从右方x和动存量p的 平仅有值的整数总和情况下为ℏ/2，它话说的是 统计数字意味上的平仅有值的整数无法无限小，而不是话说校正存量时的扰乱平仅有值。

很多人一只想到Δx，梦境之之前都就都会确信这是一个微小的从右方巨大坏化。到了不断定性连续性并不一定 ΔxΔp≥ℏ/2这之之前都，就很愈来愈容易把Δx当变为校正存量从右方时由于扰乱造变为的平仅有值，这样就很愈来愈容易遭遇一开始话说的那种对不断定性连续性并不一定的 错误认知之之前去，让我们误以为电荷的不断定性是由校正存量的西移动引发的。

如果这之之前都不是用的 Δx和 Δp，而是 σx和 σp，那 不断定性连续性并不一定究竟就没那么愈来愈容易引发误以为了呢？

在很多说义之之前都， 从右方- 动存量不断定间的关系确实写下作 σxσp≥ℏ/2 (ℏ=h/2π)，这之之前都的 σx、 σp十分是校正存量从右方、动存量时的扰乱平仅有值，而是从 统计数字意味跟着话说的从右方和动存量的 平仅有值。

那难题就来了： 一个电荷的从右方和动存量，怎么都会有统计数字意味上的平仅有值呢？

在 电动物理学之之前都，这个并不一定当然是毫无意味的。电动物理学的电荷在任何时候都有断定的从右方和动存量，它们并未任何振荡，谈及单个电荷的从右方和动存量在统计数字意味上的略颇高于和平仅有值也过分十分搞笑。

但到了 存狄拉克，实质上就实质上不一样了。在存狄拉克之之前都，只有当种系统保持稳定 从右方本征基态时，电荷的从右方才是断定的；当种系统保持稳定 从右方瞬时在基态时，电荷的从右方就是不断定的。校正存量常有一定的仅有值保持稳定这个从右方，有一定的仅有值保持稳定那个从右方，我们还能不算显现出就其的仅有值顶多值。

当电荷有一定仅有值在这，也有一定仅有值在那时，我们不就可以计不算电荷的从右方 略颇高于了么（仅仅有许多跟它一模一样的电荷，我们一个个去校正存量，于是又统计数字它们的略颇高于）？有了略颇高于，每个可能的从右方相当略颇高于的振荡也能不算显现出来，于是，我们就能计不算显现出电荷的从右方 平仅有值σx，动存量平仅有值 σp也一样。

这样一来，我们就能从 统计数字意味上谈单个电荷的各种物理学存量的略颇高于、标准顶多和平仅有值了，因为电荷的物理学存量在一般实质上下并并未断定顶多值。

于是又来到左边的举例，我们仅仅磁性保持稳定某个从右方瞬时在基态，校正存量常有70%的仅有值保持稳定x=1一处，有30%的仅有值保持稳定x=2一处。虽然我们不真的校正存量时磁性到底都会在x=1还是x=2一处，但我们还真的它的略颇高于一定是 x=1×0.7+2×0.3=1.3。

而且，我们真的这个 略颇高于跟你校正不校正存量 关的联，只要种系统实质上断定了，仅有值分布断定了（70%的仅有值x=1，30%的仅有值x=2），我们就能在 校正存量在此之之前把略颇高于x=1.3不算显现出来。不算显现出了从右方略颇高于，我们一样可以仿照颇高三考试的举例，不算显现出磁性在这个实质上下从右方的平仅有值σx，并用它来衡存量磁性从右方的振荡实质上。

因为这个 σx也是在 校正存量在此之之前不算显现出来的，所以我们不需要等校正存量过后，也不需要真的校正存量每一次之之前到底有多大西移动就能不算显现出磁性的从右方平仅有值σx，它跟你校正不校正存量实质上关的联。

假如电荷一处在 实质上一的时候，它有50%的仅有值保持稳定x=4.9一处，有50%的仅有值保持稳定x=5.1一处，此时的略颇高于为x=5； 电荷保持稳定 实质上二的时候，它有50%的仅有值保持稳定x=1一处，有50%的仅有值保持稳定x=9一处，此时的略颇高于 还是x=5。这两个实质上下电荷的从右方略颇高于都一样，但我们闭着嘴唇都真的实质上二的振荡巨大，所以它的 从右方平仅有值σx也巨大。近似于的 ，我们也能不算显现出 电荷在各个实质上下的 动存量平仅有值σp。

十分一定，只要种系统实质上断定了，不管你有并未校正存量，我们都能不算显现出电荷的从右方和动存量的平仅有值 σx、 σp。那么，这个 σx和 σp有并未什么间的关系呢？

经过一番有自然语言学解析，我们发掘出电荷在 不尽相同实质上下虽然都会有不尽相同的从右方平仅有值σx和动存量平仅有值σp，但不论种系统实质上如何巨大坏化，也不论 σx和 σp跟着如何巨大坏化，它们的整数 σxσp都不可能小于 ℏ/2。这就是大家较为津津乐道的从右方和动存量的不断定间的关系 σxσp≥ℏ/2。

这个解析每一次我们左边于是又话说，在这之之前都，我们某种意义能明晰地只想到：电荷的从右方略颇高于是在校正存量在此之之前就能不算显现出来的，从右方和动存量的平仅有值σx、σp也是在校正存量在此之之前就能不算显现出来的，所以，经过有自然语言学解析给予的从右方-动存量不断定间的关系σxσp≥ℏ/2也是在校正存量在此之之前就能给予的。

如果我们在校正存量在此之之前就能给予这个间的关系的单 σxσp≥ℏ/2，那你还能话说 不断定性连续性并不一定是由于校正存量的西移动引发的么？你都还并未开始校正存量， 那还谈什么校正存量造变为的扰乱平仅有值？

这样的衹，大家能认知为什么我们在此之之前即使如此话说“ 不断定性连续性并不一定十分是由于校正存量造变为的，它是电荷的固有物理性质，跟你校正不校正存量关的联”了么？

05一般的不断定间的关系

大的原素定原地便，我们于是又来究竟就其的解析每一次。

在这之之前都，我们先以不盯着从右方和动存量，而是先以选择愈来愈一般的实质上。仅仅有两个若有的物理学存量A和B，种系统实质上断定日后，仅有值分布就断定了，我们就能不算显现出物理学存量A、B的略颇高于，进而不算显现出这两个物理学存量的平仅有值σA和σB。

那么，不尽相同物理学存量的平仅有值密切关系又有什么间的关系呢？

能用 施瓦茨等价，经过一番纯有自然语言学解析，我们就给予了这样一个间的关系的单：

就其的解析每一次相当无趣，我这之之前都就不写下了，精确的可以自己去抽一抽存狄拉克说义。但大家要似乎，我们这之之前都 并未应运而生任何额外的仅仅，我们只是用了平仅有值的连续性并不一定，然后能用施瓦茨等价就给予了左边的等价。所以，这是一个 早先的间的关系的单，是 最一般的不断定间的关系。

它知道我们： 若有两个物理学存量的平仅有值的整数 σA σB需少于等同这两个物理学存量的对易的单[A,B]的略颇高于（<>代表人必略颇高于）的绝对顶多值的一半 。

话说上去实在太拗口，但略颇高于和绝对顶多值大家都很熟知，这之之前都真正起暂时抑制作用的是A、B的 对易的单[A,B]，只要对易的单断定了，这个等价就断定了。而本征函有数A、B的 对易的单是这样并不一定的： [A,B]=AB-BA，也就是把两个本征函有数的抑制作用由南向北绑定一下，于是又正数。

很多人只想到这个 对易的单便心之之前都就在犯嘀咕： AB-BA不应该宏等同0么？就像3×5-5×3=0一样，任何两个 有数绑定化简的由南向北，给予的整数应该都一样，它们正数便的结果赞许就是0啊。

如果 [A,B]宏等同0，那你并不一定这个又有什么意味？

不管怎样，我们自幼完成学业了 幂的绑定律：如果A、B都是 有数，两个有数绑定由南向北，终于的整数赞许连续性。所以AB一定等同BA，[A,B]=AB-BA就一定宏等同0。

但是，我们这之之前都的A、B十分是 有数啊，它们是叙述物理学存量的 本征函有数。我们确实自幼完成学业了有数的幂绑定律，但你有学过本征函有数的幂绑定律么？

并未吧！也不可能学过，因为 本征函有数密切关系压根就并未早先的幂绑定律。有的本征函有数密切关系可以绑定幂由南向北，有的则无法，这跟有数的实质上实质上不一样。

那么，本征函有数的幂是什么意为呢？两个本征函有数密切关系可以绑定幂由南向北又是什么意为？

06对易的单

在《 什么是存狄拉克？ 》之之前都我们说过了，存狄拉克之之前都用 矢存量叙述种系统实质上，用 本征函有数叙述物理学存量。本征函有数可以抑制作用在一个矢存量上，把一个矢存量坏变为另一个矢存量。比如，我们对一个矢存量同步进行倒置、转动、投影操纵，就都会完全相同有倒置本征函有数、转动本征函有数、投影本征函有数。我们把倒置本征函有数抑制作用在一个矢存量上，就都会把一个矢存量倒置到另一个大都，其它本征函有数也近似于。

在A、B的对易的单 [A,B]=AB-BA之之前都，A、B都是本征函有数，而种系统实质上ψ是矢存量，所以我们就可以把本征函有数B抑制作用在基态矢存量ψ上，这样就给予了新的矢存量 Bψ。而Bψ也是一个矢存量，那我们又可以把本征函有数A抑制作用在矢存量Bψ上，这样给予的新矢存量就是 ABψ。

十分一定，本征函有数是 从从右拐由南向北抑制作用在矢存量上的， ABψ就代表人基态矢存量ψ先以被本征函有数B抑制作用了一次，然后又被本征函有数A抑制作用了一次。如果A代表人倒置本征函有数，B代表人转动本征函有数，那ABψ就代表人先以把基态矢存量ψ转动（B）了一下，于是又把这个矢存量倒置（A）了一下；而BAψ就代表人先以把基态矢存量ψ倒置（Ａ）了一下，于是又把这个矢存量转动（恰巧）了一下。

这样一来，本征函有数Ａ、B的对易的单 [A,B]=AB-BA就很好认知了：因为A、B都是本征函有数，AB和BA概述两个本征函有数的连续抑制作用，那就还是一个本征函有数，所以它们正数的结果AB-BA仍然是一个本征函有数。

既然是本征函有数，那我们自然现象就可以把 本征函有数[A,B]抑制作用在矢存量ψ上，这就十分于一方面先以用本征函有数B才将本征函有数A抑制作用在矢存量ψ上（给予了ABψ），另一方面先以用本征函有数A才将本征函有数B抑制作用在矢存量ψ上（给予了BAψ），终于于是又把这两种方的单给予的矢存量正数 ABψ-BAψ。

如果先以A后B抑制作用在矢存量ψ上，与先以B后A抑制作用在矢存量ψ给予的结果是实质上一样的，十分一定 [A,B]ψ= ABψ-BAψ =0，那就概述本征函有数A、B密切关系的幂是 可以绑定由南向北的，这时候我们话说本征函有数A和本征函有数B是 对易的。比如， 倒置本征函有数和 转动本征函有数就是对易的，你只想只想，把一个矢存量先以倒置再往，于是又转动一定的角度看，跟你先以把矢存量转动一定的角度看，于是又倒置再往给予的结果究竟一样的？

当然，十分是所有的 ABψ-BAψ都等同0。当 [A,B]≠0的时候，那就概述本征函有数A、B密切关系的幂由南向北 不可绑定，我们就话说本征函有数A和本征函有数B 不对易。比如， 倒置本征函有数和 生活空间反射本征函有数就不对易，你只想只想，把一个矢存量先以向从右倒置一段，于是又以抛物线为之之前心倒置一下，跟你先以把矢存量倒置一下，于是又向从右倒置的结果一样么？

于是又比如，值得注意一本书，你先以一个中心x齿轮转动，于是又一个中心y齿轮转动，给予的结果跟你先以一个中心y齿轮转动，于是又一个中心x齿轮转动的结果还一样么？

这些举例都十分抽象，大家仔细正因如此一下，就都会发掘出两个本征函有数密切关系对易或者不对易都是无论如何的。

07对易的物理学存量

认知了 本征函有数幂和 有数乘密切关系的不一样便，我们于是又回头究竟那个最一般的不断定间的关系：

如果物理学存量A和物理学存量B完全相同的本征函有数是 对易的，十分一定[A,B]=0，那等价的从右侧就坏变为了0。于是，这个等价就坏变为了“ 物理学存量A和B的平仅有值的整数σA σB≥0 ”。

有人话说这不是废衹么？平仅有值 σ赞许是少于等同0的啊！我们在必 标准顶多的时候就是先以套了个平方，确保安全所有的有数都非负，平仅有值不过是对标准顶多于是又开个布雷，那结果赞许还总括负啊。 所以，当物理学存量A、B完全相同的本征函有数 对易时， 这个的单子十分于在话说“它们平仅有值的整数少于等同0”，这是一句废衹。

衹无法这么话说，当物理学存量A、B对易，也就是[A,B]=0的时候，最一般的不断定间的关系给显现出的无需是 σA σB≥0。虽然平仅有值确实都少于等同0，但如果不断定间的关系给显现出的无需是 σ≥0，这某种意义概述 σ可以收0。因为如果无需是 σ≥3，那 σ就无法收0、1、2了。

所以，如果物理学存量A、B对易，最一般的不断定间的关系给显现出了无需 σA σB≥0，这某种意义概述：它无需物理学存量A、B的平仅有值同时为0，也就是无需σA=σB=0。

那么，无需物理学存量A、B 的平仅有值 同时为0，这又反之亦然什么呢？

左边我们说过了， 平仅有值是说明了取样的振荡实质上的。在存狄拉克之之前都，如果 种系统实质上ψ断定了，仅有值分布也就慢慢断定了，我们就可以不算显现出这个实质上下若有物理学存量的略颇高于，进而必显现出它们的 平仅有值σ。我们还真的平仅有值是 非负的，这就反之亦然 物理学存量可以收的顶多值只要有一个不等同略颇高于，它就都会让物理学存量的平仅有值 σ＞0。

比如，还是仅仅电荷有70%的仅有值位于x=1一处，有30%的仅有值位于x=2一处，在这个实质上之之前都， 电荷的从右方略颇高于 x=1×0.7+2×0.3=1.3。又因为 电荷可以收的两个顶多值x=1和x=2都不等同略颇高于1.3，那它们在计不算标准顶多时赞许都会转化变为少于零的（1-1.3）²=0.09和（2-1.3）²=0.49，最终的标准顶多和平仅有值都少于0。

如果你只想让这个 电荷的从右方平仅有值 σx=0，那就需让电荷所无论如何收的从右方都等同它的略颇高于。因为只有这样，每个从右方相加略颇高于的结果才是0，一堆0加在上去还是0，于是平仅有值才能为0。

那么，“ 电荷所有可以收的从右方都等同略颇高于 ”又反之亦然什么呢？ 我们真的，种系统实质上断定后， 略颇高于就是一个 定顶多值。你只想让 电荷所有可以收的顶多值都等同这个略颇高于这个定顶多值，那就情况下让 电荷的从右方情况下这收一个顶多值，并且就等同它的略颇高于。

那么， 电荷的从右方在什么实质上下情况下收一个顶多值呢？这个答案我们就十分熟知了： 当电荷保持稳定从右方本征基态的时候！

绕了一圈，我们发掘出如果只想让电荷的从右方平仅有值σx=0，那就需让电荷保持稳定从右方本征基态，这样我们就在平仅有值和种系统实质上密切关系立起了一座桥梁。

回冤枉，只要稍微只想一下，你就都会真是这总括常自然现象的冤枉情：当磁性保持稳定 从右方本征基态时，它的从右方就情况下收这一个顶多值，那自然现象就并未振荡，平仅有值 σx也为0；当磁性保持稳定 从右方瞬时在基态时，它的从右方可以收多个顶多值，那略颇高于自然现象就不可能于是又跟所有的顶多值一样，这样就有了振荡，平仅有值 σx也不于是又为0。

总而言之，我们发掘出如果两个物理学存量 A、B对易，那最一般的不对易间的关系就坏变为了 σA σB≥0，它 无需A、B的平仅有值同时为0。而平仅有值为0就反之亦然种系统需保持稳定该物理学存量的 本征基态， 如果σA=σB=0，那就反之亦然 电荷需保持稳定物理学存量A的本征基态， 同时也需保持稳定物理学存量B的本征基态。

换句衹话说，如果物理学存量A、B对易，那它们就可以拥有协力的本征基态。当种系统保持稳定它们的协力本征基态时，物理学存量A、B的平仅有值 σA和 σB同时等同0，而这个结果十分违法 σA σB≥0。

08不对易物理学存量

如果物理学存量A、B 不对易，那实质上就实质上不一样了。

确信大家也真的， 从右方和 动存量就是 一对不对易的物理学存量。为什么 从右方和动存量不对易呢？我们可以来不算一下。

在《什么是存狄拉克？ 》之之前都我们就说过，动存量本征函有数p在 从右方具象下可以写下变为 -iℏ∂/∂x， 从右方在它本身的具象之之前都自然现象就是 x。我们只想究竟它们对不对易，那把它们算出对易间的关系 [x,p]=xp-px不算一不算再多。

如果 [x,p]=0，那就概述从右方和动存量 对易；如果 [x,p]≠0，那就概述从右方和动存量 不对易。

本征函有数可以抑制作用在矢存量和函有数上，把它坏变为另一个矢存量和函有数。既然 从右方本征函有数x和动存量本征函有数p都是本征函有数，它们的对易间的关系 [x,p]=xp-px也是本征函有数，那我们还好[x,p]抑制作用在函有数f(x)上：

计不算每一次都十分抽象， 因为[x,p]是抑制作用在一元函有数f(x)手上，因此动存量本征函有数之之前都的偏导有数∂/∂x就可以反之亦然改变为d/dx，我们在分子有理数上同时乘以一个虚有数单位i，就变为了左边的看上去。

计不算的 第一步就是把 [x,p]f(x)告一段落为xpf(x)-pxf(x)，于是又把动存量本征函有数算出进去。 xpf(x)概述我们先以用动存量本征函有数p抑制作用在函有数 f(x)上，于是又用从右方本征函有数x去抑制作用； px f(x)只是调换了下由南向北，概述先以用从右方本征函有数x抑制作用在函有数 f(x)上，于是又用动存量本征函有数p去抑制作用。

第二步就是套了一个整数的不定积分公的单，然后发掘出之前两项可以举例来说，终于就给予了结果iℏf(x)。

从这个结果我们可以只想到：[x,p]f(x)十分等同0，而是等同 iℏf(x)。我们把f(x)都去掉，就给予了 从右方本征函有数x和 动存量本征函有数p的对易间的关系：

因为 [x,p]≠0，所以从右方和动存量 不对易。这个的单子十分重要，它被称为正则对易间的关系。

在电动物理学之之前都，任何物理学存量都可以写下变为 从右方x和动存量p的函有数 ，所以，存狄拉克之之前都任何 有经典完全相同的物理学存量密切关系的对易间的关系， 都可以从 从右方-动存量这个最连续性的 正则对易间的关系之之前都导显现出来。

从微妙的意味跟着话说，存狄拉克之之前都各种神奇的特性最终都可以始于这个最连续性的对易间的关系跟着。因此，有的说义是把正则对易间的关系[x,p]=iℏ当作 连续性仅仅提显现出来的。

大家于是又究竟下这个对易的单 [x,p]=xp-px=iℏ，它知道我们：对于 同一个函有数f(x)，先以用动存量本征函有数p抑制作用于是又用从右方本征函有数x抑制作用的结果xpf(x)，跟先以用从右方本征函有数x抑制作用于是又用动存量本征函有数p抑制作用的结果pxf(x)没想到不一样，它们的顶多十分等同0，而是等同iℏf(x)。

09从右方-动存量不断定间的关系

有了从右方本征函有数x和动存量本征函有数p密切关系的对易间的关系 [x,p]=iℏ，我们把它算出最一般的不断定间的关系：

没过多久就能给予从右方本征函有数x和动存量本征函有数p的 不断定间的关系（ℏ=h/2π）：

这就是从右方和动存量密切关系的不断定性间的关系，也是大家最常用的 不断定性连续性并不一定。

其实，大家不常只想到的大部分是用 ΔxΔp来陈述的，我们这之之前都用了坏得不愈来愈容易引发误以为的平仅有值 σx σp ，这样大家一看就真的我们这是从 统计数字意味跟着话说不断定性连续性并不一定了。

从右方-动存量不断定间的关系知道我们： 从右方本征函有数x和动存量本征函有数p的平仅有值的整数σxσp有一个总和顶多值ℏ/2，它无法无限小，愈来愈无法等同0。因此，σx和σp无法同时为0。

而我们又真的，只有当种系统保持稳定物理学存量的 本征基态时，完全相同物理学存量的平仅有值σ才为0。你今日话说σx和σp无法同时为0，那就反之亦然种系统无法 同时保持稳定从右方和动存量的本征基态。否则，从右方的平仅有值σx=0，动存量的平仅有值σp=0，这就 有违了它们密切关系的不断定间的关系 σxσp≥ℏ/2。

因此，当我们校正存量一个电荷的 从右方时，种系统都会从原有的实质上坏变为某个 从右方本征基态。当种系统保持稳定从右方本征基态时，电荷的从右方就只可能收一个顶多值，从右方的平仅有值 σx=0，此时动存量的平仅有值σp就坏变为了 平方根（这之之前都0和平方根化简十分等同0，这之之前都不细谈）。看上去就是从右方和动存量密切关系都会各种因素，这样它们的平仅有值σx、σp才不都会同时为0。

这样的衹， 两个物理学存量是否对易，就暂时了它们的平仅有值能否同时为0，进而暂时了它们能否拥有协力的本征基态，暂时了它们是否独立。大家要放心理一理这一串自然语言皮带，它对认知存狄拉克是很有帮助的。

想到了这些，于是又只想只想一开始的难题，你还都会真是 从右方和 动存量的这种 不断定间的关系是由于校正存量时的西移动造变为的么？我们 并未校正存量时，种系统实质上随着泡利方程组演化过程，从右方和动存量的平仅有值σx、σp也都会慢慢巨大坏化，但不论σx和σp怎么坏，它们密切关系都遵守 σxσp≥ℏ/2。

所以，即便你 并未校正存量，从右方和动存量的不断定间的关系 σxσp≥ℏ/2一样发挥抑制作用。造变为这种自然现象现象的根源， 是从右方本征函有数和动存量本征函有数密切关系的不对易[x,p]=iℏ，而不是你校正存量常有并未西移动。

10傅之之前都叶正弦

为了让大家愈来愈好地认知这种 不对易间的关系，我们于是又来看一个坏得形象的举例。

假如这之之前都有一头水牛，从 左边看，你能十分似乎地只想到水牛的嘴唇，但却看不似乎水牛的四肢；从 上方看，你能十分似乎地只想到水牛墙壁般的四肢，但水牛的嘴唇我们又看不似乎了。当然，你还可以愈来愈换角度看，从不尽相同角度究竟，水牛的嘴唇和四肢的明晰度都会不一样，但你回去至少一个角度看让你既能触及楚水牛的嘴唇，又能触及楚水牛的四肢。

这跟 从右方和 动存量的不断定间的关系就实在太像了：我们可以回去一个角度看“触及”电荷的从右方，让校正存量时电荷的从右方有断定顶多值，这时候从右方的平仅有值 σx总和（ 从右方本征基态）；也可以回去一个角度看“触及”电荷的动存量，让校正存量时电荷的动存量有断定顶多值，这时候动存量的平仅有值 σp总和（ 动存量本征基态）。但是，你回去至少一个角度看能同时“触及”电荷的从右方和动存量，让从右方的平仅有值 σx和动存量的平仅有值 σp同时达到总和顶多值（未同时保持稳定从右方和动存量的本征基态），它们密切关系有 σx σp ≥ℏ/2 这样一个绕不过去的下限。

这样一来，我们愈来愈能明晰地只想到：我们之所以未同时触及楚水牛的嘴唇和四肢，十分是因为校正存量仪器实在精确，也不是因为校正存量常有什么西移动。而是因为水牛的嘴唇和四肢一个在 正面，一个在 上方，水牛的四肢结构暂时了我们未同时触及楚这两者，这是水牛的“ 固有物理性质”，跟你校正不校正存量关的联。

同理，我们未同时断定电荷的 从右方和 动存量，也不是因为校正存量仪器实在准确，不是因为校正存量常有什么西移动。而是因为电荷的从右方和动存量是 不对易的，是从右方和动存量的这种间的关系 [x,p]=iℏ暂时了我们未同时断定这两者，这也是电荷的 固有物理性质，跟你校正不校正存量关的联。

学过《信号与种系统》的朋友们赞许一眼就能看显现出来，我们一处理冤枉件信号既可以从 时域看，也可以从 时域看，不尽相同角度看只想到的看上去十分一样，它们密切关系就顶多了一个 傅之之前都叶正弦。

在存狄拉克之之前都，同一个奈函有数从 从右方具象切换到 动存量具象，它们密切关系也是顶多了一个 傅之之前都叶正弦。十分一定，对于同一个奈函有数，在从右方具象之之前都长这样，你只想究竟它在动存量具象之之前都长啥样，同步进行一个傅之之前都叶正弦再多。

如上图标明，值得注意两个正弦奈，当我们从正面看的时候，它是一些奈叠在一起的；当你从上方看时，它就坏变为了两个尖尖，只在两个大都有收顶多值。你从正面只想到的是奈，从上方只想到的是点，但你未回去一个角度看让你既只想到奈又只想到点，奈和点密切关系就顶多了一个 傅之之前都叶正弦。

电荷的 从右方和 动存量密切关系的不断定性也是这么回冤枉。当电荷保持稳定从右方本征基态时，你能 实质上断定电荷的从右方，电荷在 从右方上情况下收一个顶多值，在图像上就是只在一个点上有收顶多值。这时候，我们通过傅之之前都叶正弦切换到动存量思路，就都会发掘出完全相同的图像是一个平面奈，它概述电荷收任何动存量顶多值的仅有值都一样，这样动存量就 实质上不断定了。

于是，电荷的从右方实质上断定了，动存量就实质上不断定了，这是 傅之之前都叶正弦的自然现象结果。因此，当我们从不尽相同角度看审视同一个东西时，都会显现经常出现那种不断定间的关系回冤枉总括常自然现象的一件冤枉。

另外，虽然我们一定会同时触及楚 一头水牛的嘴唇和四肢，但如果这之之前都有 两头水牛，你只想同时触及楚一头水牛的嘴唇和另一头水牛的四肢，那就但他却了。所以， 不尽相同电荷间的所有物理学存量都是对易的，你只想同时断定一个电荷的从右方和另一个电荷的动存量显然是并未任何难题的。

这样一来，大家对电荷的 从右方和 动存量密切关系的不断定间的关系有一个相当抽象的认识了么？你还都会真是 不断定性连续性并不一定由于校正存量的西移动引致的么？

11能存量-时长不断定间的关系

除了从右方和动存量，常用的不断定间的关系还有另一组，那就是 能存量E和 时长t的不断定间的关系：

从形的单跟着看，它跟从右方和动存量的不断定间的关系的单 σx σp ≥ℏ/2 却是一模一样。

回只想一下从右方-动存量不断定间的关系的解析每一次，我们再一给予了最一般的不断定间的关系：

然后把从右方和动存量的对易间的关系 [x,p]=iℏ算出上的单，就给予了从右方和动存量的不断定间的关系 σx σp ≥ℏ/2 。

于是，有些人就都会只想： 能存量和 时长的不断定间的关系究竟也是这样，也是把能存量和时长的对易间的关系（如果有的衹）算出便就能给予？

悉心的朋友们可能显然了，在左边说从右方-动存量的不断定间的关系时，为了让大家察觉到我们谈及的是从右方和动存量的 平仅有值σ，而不是校正存量时的西移动，我特地用 σx和 σp替换了愈来愈常用的Δx和Δp。但到了这之之前都，我并并未常用 σt和 σE，而是反之亦然常用Δt和 ΔE来概述能存量和时长的不断定间的关系，为什么？

无以道到了这之之前都，我就不于是又怕大家把Δt、ΔE认知为校正存量时长和能存量时的西移动了么？怕，当然怕，相当多是能存量的平仅有值 ΔE。

我们确实可以像谈及从右方、动存量的平仅有值 σ那样谈及能存量的平仅有值，我们这之之前都的ΔE，也确确实实特指的是 能存量的平仅有值 σE。但是，这个的单子之之前都还有一个十分特殊的存量——时长Δt，它特指的是时长的平仅有值σt么？慢着，你先以知道我：时长的平仅有值是什么鬼？

从右方、动存量、能存量等物理学存量的平仅有值好认知，种系统实质上断定日后，仅有值分布也慢慢断定了，我们就可以必显现出各个物理学存量的略颇高于，进而必显现出它们相当略颇高于振荡的平仅有值。但是，时长的略颇高于是什么鬼？你又要如何计不算相当“时长略颇高于”振荡的标准顶多和平仅有值？

确信大家仍未只想到难题的关键了：在存狄拉克之之前都，时长十分是一个物理学存量，而只是一个参有数，它跟从右方、动存量、能存量这些物理学存量有本质的分野。

你可以在任何时刻校正存量电荷的从右方、动存量、能存量这些物理学存量，但是，你能校正存量 电荷的“时长”么？当你话说电荷的“时长”时，你究竟自己都真是实在太搞笑？哪之之前都有什么电荷的“时长”， 时长在存狄拉克之之前都是一个 参有数，各个物理学存量都是时长的函有数，它们随时长巨大坏化，电荷并并未一个 叫“时长”的物理学存量在随着时长巨大坏化。

所以，当种系统实质上断定后，我们可以计不算从右方的略颇高于，可以计不算动存量、能存量的略颇高于，但你一定会从统计数字意味上计不算时长的略颇高于，于是也并未什么时长的平仅有值 。所以，我们写下一个 σt显现出来是并未意味的。

当然，在 狭义相当论之之前都，时长和生活空间获得了平等的威信，你确实可以平等的一处理冤枉件时长t和生活空间x。但我们今日辩论的是 非相当论性存狄拉克，泡利方程组也总括相当论性的，所以，我们无法像 从右方-动存量不断定间的关系那样认知能存量-时长的不断定间的关系。

那么，我们要如何选择 ΔtΔE≥ℏ/2呢？相当多是，我们要如何看来这之之前都的 Δt？

12时长的意味

在《 什么是存狄拉克？ 》之之前都我们说过一个论断： 定基态就是种系统的能存量本征基态。

从表面上看，能存量本征基态只是种系统具有 断定能存量的实质上，显然并并未不随时长巨大坏化的意为，那为什么还要话说它“定”呢？那是因为，虽然此时的奈函有数即使如此跟时长有关，但仅有值分布却不随时长巨大坏化，于是，任何物理学存量的略颇高于也不随时长巨大坏化。这是 仅有值分布和 物理学存量略颇高于都不随时长巨大坏化的实质上，所以我们称之为“ 定基态”。

当种系统保持稳定 能存量本征基态的时候，能存量的收顶多值是断定的，因此能存量的平仅有值ΔE=0。根据能存量-时长的不断定间的关系 ΔtΔE≥ℏ/2，当ΔE=0的时候， Δt这不就要坏变为 平方根，这跟从右方-动存量的不断定间的关系是一样的。这就暗示我们： 当种系统保持稳定能存量本征基态时，由于ΔE=0，所以某个跟时长关的的Δt都会坏变为平方根。那么，这时候有什么跟时长关的的存量都会坏变为平方根呢？

我们仍未真的能存量本征基态是定基态，是 物理学存量的略颇高于不随时长巨大坏化的实质上，从右方、动存量这些物理学存量的略颇高于这一刻是这样，下一刻还是这样，永远都不都会巨大坏化。换句衹话说，此时 各个物理学存量的略颇高于的巨大坏化时间段T坏变为了平方根。

大家只想只想究竟这么一回冤枉？一个东西不显现出了，我们也可以话说是它的巨大坏化时间段坏变为了平方根。摆钟每秒转动一次，它的转动时间段是一秒；如果它十秒转动一次，那时间段就坏变为了十秒，我们就都会真是这个回转坏慢了许多；如果转动一次需要 平方根的时长，那它的转动时间段就都会坏变为 平方根，我们就都会真是这个摆钟不显现出了，十分一定 它不于是又随时长巨大坏化。

所以，当种系统保持稳定 能存量本征基态时，它的平仅有值ΔE=0。与此同时，各个物理学存量的略颇高于也 不随时长巨大坏化（定基态），我们也可以话说物理学存量略颇高于的巨大坏化时间段 T坏变为了 平方根，而这个跟时长关的的 巨大坏化时间段T，正是 ΔtΔE≥ℏ/2之之前都的 Δt。

十分一定， 能存量-时长不断定间的关系之之前都的Δt不是什么时长的平仅有值，也不是校正存量时长的西移动，而是 各个物理学存量的略颇高于的巨大坏化时间段T。

于是，当从右方、动存量这些物理学存量的略颇高于巨大坏化马上时（Δt不大），能存量的不断定度就得越快，平仅有值ΔE就 得越快；当若有物理学存量的略颇高于巨大坏化很慢时（Δt不大），能存量的不断定度就得越小，平仅有值ΔE就 得越小；当若有物理学存量的略颇高于连续性时（Δt平方根），能存量的不断定度ΔE就 等同0，十分一定能存量实质上断定了，那这就是 能存量本征基态（定基态）。

如果这样还不好认知，那我们于是又换个角度看。你只想只想，如果种系统不是保持稳定能存量本征基态，而是保持稳定 两个能存量本征基态的瞬时在基态，那种系统的能存量就不是断定顶多值了，校正存量时就都会有一定仅有值保持稳定这个能存量的本征顶多值，有一定仅有值保持稳定那个能存量的本征顶多值，能存量的 平仅有值ΔE也不于是又为0。

又因为种系统保持稳定两个能存量本征基态的瞬时在基态，这不是 定基态，所以各个物理学存量的略颇高于也不都会是定顶多值，而都会随着时长t巨大坏化，那物理学存量略颇高于的 巨大坏化时间段T（Δt）自然现象也不于是又是平方根。

所以，当种系统不是能存量本征基态（定基态）的时候，能存量的平仅有值 ΔE>0（坏大了），物理学存量略颇高于的巨大坏化时间段 Δt就不于是又是平方根（坏长了），此消彼长，它们的整数仍然满足 ΔtΔE≥ℏ/2。

能存量-时长的不断定间的关系比 动存量- 从右方不断定间的关系要无以认知一些，因为 时长在存狄拉克之之前都只是一个参有数，跟 从右方、动存量、能存量这些物理学存量有本质的分野。它的解析每一次也坏得复杂，需要大家有一定数据分析物理学的为基础，我这之之前都就不细说了，日后有机都会于是又话说（怕错过的盯着我的公众号 尾科技就行）。

在这之之前都，大家只要真的 ΔtΔE≥ℏ/2之之前都的Δt不是时长的平仅有值，而是物理学存量略颇高于的巨大坏化时间段T再多。

13结语

于是又回过头究竟， 不断定性连续性并不一定的陈述和公的单看上去都很抽象，显然谁都能看懂。但是，只一定会真正认知这些以下内容，还是得先以建立存狄拉克的连续性框架，学都会从存相对论思路看难题，否则就都会造变为各种误以为。

这种误以为在 存狄拉克之之前都十分普遍：很多人一想起存狄拉克之之前都话说能存量 不连续，没过多久就真是能存量在任何实质上下都是不连续的，并且脑补时长、生活空间也都是不连续的；一想起 不断定性连续性并不一定话说未同时校正准从右方和动存量，就以为这是校正存量造变为的扰乱；只想到存狄拉克都是在叙述 微观电荷，就真是存狄拉克只在微观全球性有效；一想起存狄拉克之之前都谈 仅有值，就真是在存狄拉克之之前都任何冤枉情都是仅有值性的……

只要你还并未建立存狄拉克的连续性框架，只要你还是从电动物理学的思路看来存相对论全球性的各种自然现象现象，这样的误以为却是是根本原因的。

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中航生物学

ID：huanqiuwuli

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